Matematycy na tropie piękna

Grzegorz Jasiński, RMF FM: Panie profesorze, gratuluję nagrody, nagrody ważnej w polskim środowisku matematycznym. Czy dla zwykłego absolwenta liceum, maturzysty z matematyki nawet na poziomie rozszerzonym, jest sposób wytłumaczenia tego, czym się pan zajmuje, który trafi do umysłu i trafi do tej części w mózgu, która zajmowała się matematyką? Czy da się to wytłumaczyć?

Prof. Wojciech Kucharz: Dziękuję bardzo za gratulacje. Co do wyjaśnienia, to nie jest całkiem proste. Natomiast wydaje mi się, że można byłoby powiedzieć w ten sposób: opisujemy pewne zjawiska fizyczne przy pomocy bardzo skomplikowanych funkcji, które mogą być prawie nieskończenie skomplikowane. Natomiast podejście przy pomocy geometrii algebraicznej pozwala w wielu przypadkach uzyskać bardziej przystępny opis, przy pomocy najprostszych funkcji, jakie są możliwe, funkcji wielomianowych. Z funkcjami wielomianowymi spotykamy się już w liceum. Zazwyczaj to są funkcje jednej zmiennej. Natomiast w matematyce wyższej używamy funkcji wielomianowych wielu zmiennych. Okazuje się, że wiele zjawisk, które występują w naturze, można opisać używając równań wielomianowych oraz odwzorowań między obiektami zdefiniowanymi przy pomocy takich funkcji, które też są zdefiniowane przy pomocy wielomianów. Moja nagroda została przyznana za wyniki uzyskane w ciągu wielu lat, dotyczące właśnie funkcji wielomianowych, funkcji regularnych, funkcji kawałkami regularnych. To wszystko są coraz bardziej skomplikowane funkcje wielomianowe. Funkcja regularna to jest iloraz dwóch wielomianów o nieznikającym mianowniku. Jeśli chodzi o funkcje kawałkami regularne to trzeba posłużyć się pewną intuicją. Tego nie będę wyjaśniał technicznie. Moje główne osiągnięcia dotyczyły właśnie zagadnień tego typu. Nagroda została przyznana za prace właśnie z tej dziedziny.

Panie profesorze, jest pan promotorem doktoratu laureata, no i laudatorem, który będzie matematykom tłumaczył, dlaczego profesor Kucharz otrzymuje tę nagrodę. A nie matematykom, zechciałby pan coś dodać?

Prof. Jacek Bochnak: Wojtek Kucharz, profesor Kucharz pracował w dziedzinie, która została właściwie stworzona stosunkowo niedawno. 50 lat temu ta dziedzina, która nazywa się geometrią algebraiczną rzeczywistą, czyli nad ciałem liczb rzeczywistych, praktycznie nie istniała. Była grupa matematyków w rozmaitych krajach, która zaczęła się tą dziedziną interesować. Profesor Kucharz włączył się do tej grupy dość wcześnie i wniósł istotny wkład do rozwoju tej dziedziny. To jest rzadka okazja, że ktoś ma szansę, ma okazję tworzyć nową dziedzinę matematyki. Właśnie profesor Kucharz miał okazję to robić i wniósł istotny wkład do tej nowej dziedziny. To jest dziedzina matematyki czystej, która jednak ma zastosowania w życiu codziennym, wbrew temu, co na początku myśleliśmy, jak zaczynaliśmy te rzeczy. Okazuje się, że pewne fragmenty geometrii algebraicznej nad ciałem liczb rzeczywistych mają zastosowanie w robotyce. Mianowicie ruchy robotów mają charakter semi-algebraiczny. Zbiory semi-algebraiczne to są zbiory definiowane przy pomocy równań lub nierówności wielomianowych. Okazuje się że struktura zbiorów semi-algebraicznych była użyteczna do badania ruchów w robotyce. Myśmy o tym nie mieli pojęcia, to nam powiedziano później, że takie zastosowanie istnieją. Tu taka ciekawostka, książka z geometrii algebraicznej, którą opublikowałem, jest bardziej kupowana przez matematyków stosowanych, większa liczba została zakupiona przez rozmaite instytuty matematyki stosowanej niż instytuty zajmujące się czystą matematyką. Zupełnie niespodziewanie,  bez początkowego zamiaru, okazało się, że tak bardzo abstrakcyjna część matematyki nagle została użyta do bardzo praktycznych rzeczy, takich jak robotyka.

Czy matematycy mają nadzieję, liczą na to, że właśnie tego typu przypadki, kiedy rozwój nowych technologii i sztucznej inteligencji, wszystko to, co dla laików kryje się pod hasłem "algorytmy", dogoni matematykę i i zacznie wykorzystywać prace, które państwo już od jakiegoś czasu piszecie, odkrywacie?

Prof. Wojciech Kucharz: Ja myślę, że do pewnego stopnia to się dzieje przez cały czas. Trudno jest powiedzieć, gdy tworzy się matematykę tak zwaną czystą, co znajdzie zastosowanie w najbliższym czasie, za rok, za dwa, za 5, za 10. Doświadczenie pokazuje, że nawet bardzo abstrakcyjne dziedziny matematyki znajdują zastosowanie. Ta wzmianka, o której mówił profesor Bochnak, dotycząca robotyki, inna rzecz to computer vision, analiza obrazu, to jest kolejna możliwość. Poza tym, różne bardzo teoretyczne rzeczy znalazły zastosowanie. Teoria węzłów znalazła zastosowanie w biologii, chociaż wydawało się też, że to są rzeczy abstrakcyjne i niemające związku z codziennością.

Prof. Jacek Bochnak: Sławny przykład to jest geometria różniczkowa. Einstein, kiedy rozwijał ogólną teorię względności, potrzebował informacji - później się okazało, że potrzebował informacji - które zostały odkryte kilkanaście lat wcześniej, dotyczące krzywizny toru i krzywizny rozmaitości różniczkowalnej. On nie wiedział, że taka teoria już istnieje i dopiero jego przyjaciel, szwajcarski matematyk Marcel Grossmann, któremu mówił, że ma taki problem do rozwiązania, powiedział mu, że ten problem już jest dawno rozwiązany. To są krzywizny Ricciego i inne, znane wtedy już od kilkunastu lat. Einstein miał już gotowe narzędzie do opisu swojej ogólnej teorii względności, używając aparatu, który ze względów czysto teoretycznych został skonstruowany kilkanaście lat wcześniej. Takie przykłady można mnożyć. To prawie zawsze w ten sposób działa, że jest rozwijana pewna teoria, z ciekawości, matematycy się nią zajmują, bo jest estetycznie ładna. Estetyka jest olbrzymim motorem rozwijania matematyki. Później nagle okazuje się, kilka, kilkanaście, czy kilkadziesiąt lat później, że taka teoria jest użyteczna do bardzo praktycznego celu w codziennym życiu.

Czy dla matematyków to jest ważne, żeby znaleźć praktyczne rozwiązanie? Czy kompletnie nie?

Prof. Jacek Bochnak: To jest zupełnie nieważne. Jak mówię, motywacja jest czysto estetyczna, przynajmniej dla nas tutaj dwóch i dla wielu naszych kolegów. Chodzi o to, by rozwinąć piękną teorię, w rodzaju katedry gotyckiej. No a później okazuje się, że czasami to ma zastosowanie. Ale zastosowania dla nas nie mają żadnego znaczenia.

Prof. Wojciech Kucharz: Wiadomość, że zastosowania istnieją, bardzo nas oczywiście cieszy.

Prof. Jacek Bochnak: Cieszy i dziwi.

Co to znaczy, że teoria jest piękna? Czy chodzi o to, że jest prosta, logiczna, tłumaczy jak największy zakres - nazwijmy to - materiału z danej dziedziny? W czym jest to piękno, że wzór ładnie wygląda?

Prof. Jacek Bochnak: To trudne do powiedzenia, dlatego że do tego trzeba mieć już pełną znajomość techniczną, żeby ocenić piękno teorii matematycznej. To jest trochę jak muzyka. Jeżeli ktoś jest głuchy to nie będzie podziwiał muzyki. Podobnie jest w matematyce. Musi być pewne przygotowanie, pewna zdolność oceny tego piękna. Inaczej to piękno nie działa. Ale dla nas, zawodowych matematyków to jest główna motywacja, ciekawość i estetyka.

Prof. Wojciech Kucharz: Z tym nie sposób się nie zgodzić. Żyjemy w takim świecie już dosyć długo, nie jesteśmy bardzo młodzi, jak widać i przez cały czas doświadczamy tego piękna. Piękno matematyki było zawsze motorem działającym jak magnes, przyciągającym i zachęcającym do dalszej pracy

Ale grupa tych, którzy to piękno mogą odczuwać jest ograniczona do ludzi obdarzonych specjalnym talentem, czy do ludzi którzy gotowi są bardzo ciężko pracować? Czy jak w muzyce, dzięki ciężkiej pracy można dostąpić tej radości, czy jednak warunki brzegowe na początku odsiewają znaczną część nas?

Prof. Jacek Bochnak: Wydaje mi się, że jest duża grupa ludzi, którzy nie pracują twórczo w matematyce, ale z ciekawości czytają teksty matematyczne i potrafią ocenić piękno matematyki. Co do tego nie ma wątpliwości. Wydaje mi się, że znacznie większa grupa potrafi docenić piękno matematyki, niż liczy grupa tych, którzy tworzą matematykę.

Prof. Wojciech Kucharz: Niewątpliwie. Docenienie piękna i zrozumienie tego piękna jest rzeczą bardziej powszechną, niż dotarcie na sam szczyt, gdzie tylko garstka osób naprawdę tworzy te najbardziej wyrafinowane teorie.

Pod tym względem też porównanie z muzyką jest idealne.

Prof. Jacek Bochnak: Trudność polega na tym, że do oceniania piękna pewnej teorii jest wymagana znajomość pewnej techniki. Żeby tę technikę osiągnąć, to wymaga pewnej pracy i pewnego talentu. Natomiast są rozmaite gradacje i można ocenić piękno matematyki nawet na poziomie dosyć technicznie niskim. Są działy matematyki, np. teoria liczb, gdzie można z wykształceniem elementarnym ocenić piękno. Na przykład fakt, że każda liczba dodatnia jest sumą kwadratów czterech liczb dodatnich. Każdy to zrozumie, może nie każdy widzi, że to jest piękne, ale to jest przynajmniej ciekawa rzecz. I trudna do udowodnienia.

Panowie mówicie jednak trochę o tworzeniu matematyki. Tak to odebrałem. W tym odwiecznym sporze laików o to, czy matematyka jest tworzona, czy odkrywana, raczej odpowiadacie się za tym, że jest dziełem tworzonym przez ludzi.

Prof. Wojciech Kucharz: Nie jestem taki do końca pewny. Wydaje mi się, że matematyka jednak istnieje, że my ją tylko odkrywamy. Ja raczej do tego bym się skłaniał. Istnieje coś uniwersalnego, pięknego, do czego się zbliżamy, stopniowo. Natomiast wydaje mi się, że nie tworzymy rzeczy najbardziej wartościowych, one istnieją.

Prof. Jacek Bochnak: To jest też moje zdanie. Wydaje mi się, że ona gdzieś, ta matematyka, już istnieje. W kosmosie gdzieś w jakiś tajemniczy sposób jest, po prostu istnieje. My tylko odkrywamy to, co się da. Nawet podejrzewam, że my wciąż nie dość głęboko weszliśmy w głębię matematyki. To jest trochę tak, jak z kawałkiem marmuru. Tam w środku jest Pieta Michała Anioła, czy jakiegoś innego wybitnego rzeźbiarza. On ją musi wydobyć z tego marmuru.

Wyrzucić to, co niepotrzebne.

Prof. Jacek Bochnak: Matematyka też jest, trzeba tylko trochę tego gruzu usunąć. Wtedy ukazuje się to piękno.

Fizycy tworzą coraz doskonalsze instrumenty naukowe, by szukać praw natury. Oczywiście też wykorzystują matematykę, bo matematyka często podpowiada tak naprawdę prawa natury. Matematycy wykorzystują tylko własny umysł czy np. mogą wykorzystywać już teraz komputery? Co państwu pomaga w pracy?

Prof. Jacek Bochnak: My komputerów nie używamy. Niektórzy koledzy, zwłaszcza w teorii liczb, używają komputerów, ale one mają charakter pomocniczy, tylko dlatego, że są szybkie. Innych zalet nie mają. Szybkie wykonanie pewnej liczby przykładów jest przydatne, jest użyteczne. Te przykłady też inspirują teorię. Ale komputer teorii nie wymyśli.

Prof. Wojciech Kucharz: To wszystko prawda, ale nawet w naszych pracach, choć my się nie znamy na zastosowaniu komputerów, wystąpiły przypadki, gdy koledzy pomogli nam rozwiązać pewne równania. Pamiętasz pracę, gdzie występowały skomplikowane układy równań, potrzebowaliśmy rozwiązać te układy równań w liczbach całkowitych. To byłoby niesłychanie żmudne, gdyby to robić ręcznie, natomiast pewien, prawdopodobnie niezbyt skomplikowany program komputerowy, pozwolił na znalezienie tych równań i wygładzenie naszej teorii.

Prof. Jacek Bochnak: To prawda, ale tutaj tylko szybkość działa, a nie wartości intelektualne. Komputer działa szybko. Oczywiście jest użyteczny, ale nie tworzy niczego nowego. Lczy to, co mu zlecono.

Panowie odkrywają matematykę we własnym umyśle. Na ile istotny jest kontakt z innymi, rozmowa, inspiracja? Wydaje się że matematyka jest takim językiem uniwersalnym, którym łatwo porozumiewać się na całym świecie. Na ile w związku z tym przynależność do pewnej grupy, uczeń i mistrz, wpływa na sposób myślenia, pomaga? A może czasem zaburza? Może lepiej zamknąć się w swojej głowie i wtedy łatwiej o rozwiązania?

Prof. Wojciech Kucharz: Wydaje mi się, że kontakty są niezbędne. Kontakty z innymi matematykami, z innymi ośrodkami matematycznym również. Oczywiście wiele pracy wykonujemy samodzielnie, natomiast kontakt jest potrzebny. To kontakt bezpośredni, nie poprzez komputer, nie przez telefon, czy inne źródło komunikowania. Niewinna uwaga, nawet nie bezpośrednio związana z danym zagadnieniem, ale jednak matematyczna, może niesłychanie posunąć naprzód całe rozważania i doprowadzić do uzyskania czegoś, co uważamy za wartościowe i piękne. Bez takiego osobistego kontaktu byłoby to niemożliwe, więc kontakt jest niesłychanie ważny. Szkoły matematyczne dalej do pewnego stopnia istnieją, może nie ma obecnie tradycji w stylu Szkoły Lwowskiej, natomiast to że wychowaliśmy się w pewnym środowisku jednak odbija się na naszym życiu w sposób bardzo istotny. Obaj pochodzimy ze środowiska krakowskiego i tutaj wpływ tego środowiska jest oczywiście niezatarty.

Prof. Jacek Bochnak: Tak, nawet tematyka, którą uprawiamy, wyrosła w Krakowie. Myśmy byli głównie uczniami profesorów Łojasiewicza i Siciaka, tematy które oni inaugurowali, myśmy rozwijali. tak, że te kontakty, które mieliśmy młodości, szczególnie z tymi dwoma profesorami, ale innymi również, były niesłychanie ważne, inspirowały nas przez lata i właściwie do tej chwili. W pewnym sensie te sprawy dotyczące geometrii rzeczywistej, dalej nas interesują i dalej rozwijamy. To wszystko wyrosło z kontaktów osobistych. Bez kontaktów osobistych ani jedna dziesiąta podobnie nie zostałaby wykonana.

Proszę mi powiedzieć, jakie jest panów zdanie na temat tego, co ogólnie uznajemy za kłopot z popularyzacją matematyki? Czy on wynika z poziomu zaawansowania problemów, którymi matematycy się teraz zajmują, czy jednak z bardzo ograniczonego poziomu matematyki, którą jesteśmy w stanie poznać w szkole i którą potem jesteśmy w stanie sprawdzić na maturze? Czy ten rozdźwięk pomiędzy przeciętną informacją na temat matematyki a tym, czym matematyka zajmuje się współcześnie, jest już tak duży, czy powody są inne?

Prof. Jacek Bochnak: By uprawiać matematykę trzeba najpierw nauczyć się jej języka. To język dość skomplikowany, suchy w pewnym sensie. Zanim się osiągnie tę sferę estetyki najpierw trzeba przejść przez pustynię techniczną nauczenia się języka. Prawdopodobnie to zniechęca wielu ludzi. Technika jest niezbędna, żeby uprawiać matematykę. To jest chyba pierwsza przeszkoda do nauki, do tego, by ktoś mógł ocenić znaczenie czy piękno matematyki.

Prof. Wojciech Kucharz: Tutaj znowu analogia z muzyką wydaje się doskonała. Nikt nie jest w stanie zagrać dobrze na fortepianie po kilku lekcjach gry. To jest niemożliwe, po prostu niemożliwe. Tak samo nie można docenić matematyki będąc na samym początku drogi. Pewna praca musi zostać wykonana. Natomiast wydaje mi się, że pewna grupa młodzieży już w szkole średniej czuję piękno matematyki. Matematyka dla nich jest naturalna, działa jak magnes już wtedy i to jest doskonały materiał dla nas. Mamy często szczęście i radość, że część tych utalentowanych uczniów przychodzi do nas na studia i gotowa jest dalej pracować nad matematyką.

Prof. Jacek Bochnak: Nie zawsze się tak zdarza. Ja w szkole średniej miałem dwóję z matematyki, dosłownie dwóje na półrocze. Mam świadectwo, które pokazuje teraz z lubością. Nie zacząłem studiować matematyki, zacząłem studiować chemię i dopiero po dwóch latach chemii, gdzie były bardzo dobre wykłady z matematyki, zainteresowałem się matematyką. To był profesor Leśniak, który sam nie uprawiał matematyki, ale miał doskonałe, inspirujące wykłady. To mi się tak spodobało, że po dwóch latach porzuciłem chemię i przeszedłem na matematykę. Wszystko zależy od tego, na kogo się trafi w liceum. Są ludzie, którzy mieli szczęście trafić na dobrego nauczyciela, który potrafił pokazać, że tam jest coś ciekawego. Inni, tak jak ja, znacznie później się o tym dowiedzieli.

Na koniec chciałbym zapytać o opinię na temat, który jest tak trochę tematem jubileuszowego zjazdu, czyli pytanie, jak polska matematyka wypada na tle światowej, europejskiej. Czy te wspaniałe tradycje, do których nawiązujemy, mają ciąg dalszy i możemy liczyć na to, że o polskiej szkole matematyki będzie coraz głośniej?

Prof. Wojciech Kucharz: Myślę że polska matematyka ma ścisły kontakt z samą czołówką matematyki światowej. Sytuacja od okresu przedwojennego jednak się zmieniła. Wtedy było łatwiej wybrać pewne dziedziny matematyki, które nie były jeszcze bardzo rozwinięte, nie wymagały bardzo skomplikowanego aparatu technicznego i osiągnąć mistrzostwo. To się znakomicie przed wojną w Polsce udało. Teraz sprawa wygląda nieco inaczej - trudniej uzyskać ten światowy poziom. Stale matematyka Polska ma ścisły kontakt z czołówką i w pewnych dziedzinach jest po prostu w czołówce. Wydaje mi się jednak, że nie osiągamy teraz tej sławy, jaka była udziałem matematyków przedwojennych.

Prof. Jacek Bochnak: Matematycy polscy są poszukiwani za granicą. Gdyby zostali w kraju, sytuacja może byłaby korzystniejsza dla Polski, z rozmaitych powodów niektórzy wyjechali. Tak czy inaczej polska matematyka jest znana. Polscy matematycy są znani, są poszukiwani. Niemal w każdym kraju jest jakiś matematyk, wykształcony w Polsce i opinia o polskiej matematyce jest za granicą bardzo dobra. Jak Wojtek powiedział, sytuacja zmieniła się w porównaniu z tym, co było przed wojną, dlatego że sama matematyka się zmieniła. Osiągnięcie pewnej masy krytycznej jest teraz trudniejsze niż było przed wojną. Wydaje mi się jednak, że wśród matematyków, którzy się liczą, jest sporo Polaków, ludzi, którzy wyrośli ze środowiska polskiego.